高考数学必做百题第41题（理科2017版）

（1）用$d$表示$a_1 ，a_2$ ，并写出$a_{n ＋ 1} $与$a_n$ 的关系式；

（2）若公司希望经过$m(m≥3)$年使企业的剩余资金为$4 000$万元，试确定企业每年上缴资金$d$的值（用$m$表示）。

解：（1）由题意，

得$a_1 ＝2 000（1＋50\%）-d＝3 000-d$，

$a_2 ＝a_1 （1＋50\%）-d＝\dfrac{3}{2}a_1 -d＝4 500-\dfrac{5}{2}$d，

$a_{n+ 1} ＝a_n （1＋50\%）-d＝\dfrac{3}{2}a_n -d$。

（2）由（1）得$a_n ＝\dfrac{3}{2}a_{n - 1} -d$，

$＝\dfrac{3}{2}\left( \dfrac{3}{2}{{a}_{n-2}}-d \right)-d$

$＝{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}{{a}_{n-2}}-\dfrac{3}{2}d-d$

…

$={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{n-1}}{{a}_{1}}-d\left[ 1+\dfrac{3}{2}+{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+\cdots +{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{n-2}} \right]$

∴${{a}_{n}}={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{n-1}}\left( 3000-d \right)-2d\left[ {{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{n-1}}-1 \right]$

$={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{n-1}}\left( 3000-3d \right)+2d$，

∵${{a}_{m}}=4000$，

即${{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{m-1}}\left( 3000-3d \right)+2d=4000$， 

∴$d=\dfrac{\left[ {{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{m}}-2 \right]\times 1000}{{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{m}}-1}=\dfrac{1000\left( {{3}^{m}}-{{2}^{m+1}} \right)}{{{3}^{m}}-{{2}^{m}}}$。

∴该企业每年上缴资金d的值为$\dfrac{1000\left( {{3}^{m}}-{{2}^{m+1}} \right)}{{{3}^{m}}-{{2}^{m}}}$时，经过$m(m≥3)$年企业的剩余资金为$4 000$万元。