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高考数学必做百题第30题（理科2017版）<-->高考数学必做百题第32题（理科2017版）
考点：和差角公式，倍角公式，三角函数值求角。
031.（1）已知α,β∈(0,π2)，满足
tan(α+β)=4tanβ，求tanα的最大值；
（2）已知角α∈(π4,3π4), β∈(0,π4),
tan(π4−α)=−43, sin(3π4+β)=513,
求sin(α+β)的值。
解：（1）∵tan(α+β)=4tanβ，
∴tanα+tanβ1−tanαtanβ=4tanβ
解得tanα=3tanβ1+4tan2β。
∵β∈(0,π2)，∴tanβ>0，
∴tanα=31tanβ+4tanβ
≤32√1tanβ⋅4tanβ=34，
当且仅当1tanβ=4tanβ，即tanβ=12时取等号，
∴tanα的最大值是34。
（2）∵3π4+β−(π4−α)=π2+(α+β)，
∴ sin(α+β)=−cos[π2+(α+β)]
=−cos[(3π4+β)−(π4−α)]
=−cos(3π4+β)cos(π4−α)−sin(3π4+β)sin(π4−α)
∵α∈(π4,3π4) ⇒−3π4<−α<−π4
⇒ −π2<π4−α<0，
∴cos(π4−α)=1√1+tan2(π4−α)=35，
∴ sin(π4−α)
=−√1−cos2(π4−α)=−√1−(35)2=−45，
∵0<β<π4⇒3π4<3π4+β<π，
∴cos(3π4+β)=−√1−sin2(3π4−β)
=−√1−(513)2=−1213。
∴sin(α+β)=−(−1213)×35−513×(−45)=5665。
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