高考数学必做百题第10题（理科2017版）

010.（1）（2016天津理9）已知$a,b\in R$，i是虚数单位，若$(1+i)(1-bi)=a$，则$\frac{a}{b}$的值为_______。

（2）已知复数${{z}_{1}}$满足$\left( {{z}_{1}}-2 \right)\left( 1+i \right)=1-i$（$i$为虚数单位），复数${{z}_{2}}$的虚部为$2$，且${{z}_{1}}\cdot {{z}_{2}}$是实数，则${{z}_{2}}$=_________。

解：（1）$(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a$，则$\left\{ \begin{align}  & 1+b=a \\ & 1-b=0 \\ \end{align} \right.$，∴$\left\{ \begin{align}  & a=2 \\ & b=1 \\ \end{align} \right.$，

于是$\frac{a}{b}=2$。

（2）∵$\left( {{z}_{1}}-2 \right)\left( 1+i \right)=1-i$ ，

∴${{z}_{1}}=2+\frac{1-i}{1+i}=2-i$。

∵复数${{z}_{2}}$的虚部为$2$，则设${{z}_{2}}=a+2i\left( a\in R \right)$，

∴${{z}_{1}}\cdot {{z}_{2}}=\left( 2-i \right)\left( a+2i \right)=\left( 2+2a \right)+\left( 4-a \right)i$，

∵${{z}_{1}}\cdot {{z}_{2}}$是实数，当且仅当$4-a=0$，

∴$a=4$，于是${{z}_{2}}=4+2i$。