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2024年高考数学天津17<-->2024年高考数学天津19
（15分）已知椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$的离心率$e=\dfrac{1}{2}$，左顶点为$A$，下顶点为$B$，$C$是线段$OB$的中点，其中$S_{\Delta ABC}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆方程．
（2）过点$(0,-\dfrac{3}{2})$的动直线与椭圆有两个交点$P$，$Q$，在$y$轴上是否存在点$T$使得$\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}\leqslant 0$恒成立．若存在，求出这个$T$点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案：（1）$\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}{9}=1$；
（2）$[-3$，$\dfrac{3}{2}]$．
分析：（1）结合椭圆的性质，以及三角形的面积公式，即可求解；
（2）根据已知条件，分动直线的斜率存在、不存在讨论，当动直线的斜率不存在，直接结合平面向量的数量积运算，即可求解；动直线的斜率存在时，
设出直线方程，并与椭圆方程联立，再结合平面向量的数量积运算，即可求解．
解：（1）因为椭圆的离心率为$e=\dfrac{1}{2}$，
所以$\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{2}$，即$a=2c$，其中$c$为半焦距，
$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，
则$b=\sqrt{3}c$，
所以$A(-2c,0)$，$B(0,-\sqrt{3}c)$，$C(0,-\dfrac{\sqrt{3}c}{2})$，
$S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}\times 2c\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}c=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$，解得$c=\sqrt{3}$，
故$a=2\sqrt{3}$，$b=3$，
故椭圆方程为$\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}{9}=1$；
（2）①若过点$(0,-\dfrac{3}{2})$ 的动直线的斜率不存在，
则$P(0,3)$，$Q(0,-3)$或$P(0,-3)$，$Q(0,3)$，此时$-3\leqslant t\leqslant 3$，
②若过点$(0,-\dfrac{3}{2})$ 的动直线的所率存在，
则可设该直线方程为：$y=kx-\dfrac{3}{2}$，
设$P(x_{1}$，$y_{1})$ $Q(x_{2}$，$y_{2})$，$T(0,r)$，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\dfrac{3}{2}}\\ {3{x}^{2}+4{y}^{2}=36}\end{array}\right.$，化简整理可得，$(3+4k^{2})x^{2}-12kx-27=0$，
故△$=144k^{2}+108(3+4k^{2})=324+576k^{2} > 0$ $x_1+x_2=\dfrac{12k}{3+4k^2}$，$x_1x_2=-\dfrac{27}{3+4k^2}$；
$\overrightarrow{TP}=(x_1,y_1-t)$，$\overrightarrow{TQ}=(x_2,y_2-t)$，
故$\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}=x_{1}x_{2}+(y_{1}-t)(y_{2}-t)=x_{1}x_{2}+(ki_{1}-\dfrac{3}{2}-t)(kx_{2}-\dfrac{3}{2}-t)=(1+k^{2})x_{1}x_{2}-k(\dfrac{3}{2}+t)(x_{1}+x_{2})+(\dfrac{3}{2}+t)^{2}$
$=(1+k^{2})\times (-\dfrac{27}{3+4k^{2}})-k(\dfrac{3}{2}+t)\times \dfrac{12k}{3+4k^{2}}+(\dfrac{3}{2}+t)^{2}$ $-27k^2-27-18k^2-12k^2t+3(\dfrac{3}{2}+t)^2+(3+2t)^2k^2$ $3+4k^{2}$
$=\dfrac{[(3+2t)^{2}-12t-45]k^{2}+3(\dfrac{3}{2}+t)^{2}-27}{3+4k^{2}}$，
$\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}\leqslant 0$ 恒成立，故$\left\{\begin{array}{l}{3(\dfrac{3}{2}+t)^{2}-27\leqslant 0}\\ {(3+2t)^{2}-12t-45\leqslant 0}\end{array}\right.$，解得$-3\leqslant t\leqslant \dfrac{3}{2}$，
若$\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}\leqslant 0$恒成立．
结合①②可知，$-3\leqslant t\leqslant \dfrac{3}{2}$．
故这个$T$点纵坐标的取值范围为$[-3$，$\dfrac{3}{2}]$．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
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