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2024年高考数学天津14

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（5分）在正方形

$ABCD$ 中，边长为1．

$E$ 为线段

$CD$ 的三等分点，

$\overrightarrow{EC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DE}$ ，

$\overrightarrow{BE}=\lambda \overrightarrow{BA}+\mu \overrightarrow{BC}$ ，则

$\lambda +\mu =$ ____；若

$F$ 为线段

$BE$ 上的动点，

$G$ 为

$AF$ 中点，则

$\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{DG}$ 的最小值为 ____．

答案：

$\dfrac{4}{3}$ ；

$-\dfrac{5}{18}$ ．
分析：由题意可知

$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}$ ，再结合

$\overrightarrow{EC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DE}$ 可得

$\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$ ，进而求出

$\lambda$ ，

$\mu$ 的值，得到

$\lambda +\mu$ 的值；设

$\overrightarrow{BF}=m\overrightarrow{BE}(0\leqslant m\leqslant 1)$ ，可得

$\overrightarrow{AF}=(\dfrac{1}{3}m-1)\overrightarrow{BA}+m\overrightarrow{BC}$ ，

$\overrightarrow{DG}=(\dfrac{1}{6}m-\dfrac{1}{2})\overrightarrow{BA}+(\dfrac{1}{2}m-1)\overrightarrow{BC}$ ，易知

${\overrightarrow{BA}}^{2}=1$ ，

$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ ，即可求出

$\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{DG}$ ，再结合二次函数的性质求解即可．
解：由题意可知，

$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$ ，

$\therefore$

$\lambda =\dfrac{1}{3}$ ，

$\mu =1$ ，

$\therefore \lambda +\mu =\dfrac{4}{3}$ ，
如图：

设

$\overrightarrow{BF}=m\overrightarrow{BE}(0\leqslant m\leqslant 1)$ ，
则

$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=-\overrightarrow{BA}+m\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{BA}+m(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})=(\dfrac{1}{3}m-1)\overrightarrow{BA}+m\overrightarrow{BC}$ ，

$\because G$ 为

$AF$ 中点，

$\therefore$

$\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AG}=-\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AF}=-\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}[(\dfrac{1}{3}m-1)\overrightarrow{BA}+m\overrightarrow{BC}]=(\dfrac{1}{6}m-\dfrac{1}{2})\overrightarrow{BA}+(\dfrac{1}{2}m-1)\overrightarrow{BC}$ ，

$\because$ 正方形

$ABCD$ 的边长为1，

$\therefore$

${\overrightarrow{BA}}^{2}=1$ ，

$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ ，

$\therefore$

$\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{DG}=[(\dfrac{1}{3}m-1)\overrightarrow{BA}+m\overrightarrow{BC}]\cdot [(\dfrac{1}{6}m-\dfrac{1}{2})\overrightarrow{BA}+(\dfrac{1}{2}m-1)\overrightarrow{BC}]=(\dfrac{1}{3}m-1)(\dfrac{1}{6}m-\dfrac{1}{2})+m(\dfrac{1}{2}m-1)=\dfrac{5}{9}{m}^{2}-\dfrac{4}{3}m+\dfrac{1}{2}$ ，
对于函数

$y=\dfrac{5}{9}{m}^{2}-\dfrac{4}{3}m+\dfrac{1}{2}$ ，对称轴为

$m=\dfrac{6}{5}$ ，

$\therefore$ 函数

$y=\dfrac{5}{9}{m}^{2}-\dfrac{4}{3}m+\dfrac{1}{2}$ 在

$[0$ ，

$1]$ 上单调递减，

$\therefore$ 当

$m=1$ 时，函数

$y=\dfrac{5}{9}{m}^{2}-\dfrac{4}{3}m+\dfrac{1}{2}$ 取得最小值

$-\dfrac{5}{18}$ ，
即

$\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{DG}$ 的最小为

$-\dfrac{5}{18}$ ．
故答案为：