|
2024年高考数学上海春20<-->返回列表
（18分）记$M(a)=\{t\vert t=f(x)-f(a)$，$x\geqslant a\}$，$L(a)=\{t\vert t=f(x)-f(a)$，$x\leqslant a\}$．
（1）若$f(x)=x^{2}+1$，求$M(1)$和$L(1)$；
（2）若$f(x)=x^{3}-3x^{2}$，求证：对于任意$a\in R$，都有$M(a)\subseteq [-4$，$+\infty )$，且存在$a$，使得$-4\in M(a)$．
（3）已知定义在$R$上$f(x)$有最小值，求证“$f(x)$是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数$c$，均有$M(-c)=L(c)$”．
答案：（1）$M$（1）$=[0$，$+\infty )$；$L$（1）$=[-1$，$+\infty )$；
（2）证明过程见解答；
（3）证明过程见解答．
分析：（1）根据条件，直接求出$M$（1）和$L$（1）即可；
（2）由题意知，$M$（a）$=\{t\vert t=x^{3}-3x^{2}-a^{3}+3a^{2}$，$x\geqslant a\}$，记$g(x)=x^{3}-3x^{2}-a^{3}+3a^{2}$，判断$g(x)$的单调性，求出极值，再对$a$分类讨论，进一步证明结论成立即可；
（3）必要性：若$f(x)$为偶函数，则$M(-c)=\{t\vert t=f(x)-f(-c)$，$x\geqslant -c\}$，$L$（c）$=\{t\vert t=f(x)-f$（c），$x\leqslant c\}$，结合条件，得到$M(-c)=L$（c）即可；充分性：若对于任意正实数$c$，均有$M(-c)=L$（c），其中$M(-c)=\{t\vert t=f(x)-f(-c)$，$x\geqslant -c\}$，$L$（c）$=\{t\vert t=f(x)-f$（c），$x\leqslant c\}$，由$f(x)$有最小值，不妨设$f$（a）$=f_{min}=m$，进一步证明$f(x)$是偶函数即可．
解：（1）由题意，得$M$（1）$=\{t\vert t=x^{2}+1-2$，$x\geqslant 1\}=[0$，$+\infty )$；
$L(1)=\left\{t\mid t=x^2+1-2,x\leqslant 1\right\}=[-1,+\infty )$．
（2）证明：由题意知，$M$（a）$=\{t\vert t=x^{3}-3x^{2}-a^{3}+3a^{2}$，$x\geqslant a\}$，
记$g(x)=x^{3}-3x^{2}-a^{3}+3a^{2}$，则$g\prime (x)=3x^{2}-6x=0\Rightarrow x=0$或2．
| $x$ |
$(-\infty ,0)$ |
0 |
$(0,2)$ |
2 |
$(2,+\infty )$ |
| $g\prime (x)$ |
正 |
0 |
负 |
0 |
正 |
| $g(x)$ |
$\nearrow$ |
极大值 |
$\searrow$ |
极小值 |
$\nearrow$ |
现对$a$分类讨论，当$a\geqslant 2$，有$t=x^{3}-3x^{2}-a^{3}+3a^{2}$，$x\geqslant a$为严格增函数，
因为$g$（a）$=0$，所以此时$M$（a）$=[0$，$+\infty )\subseteq [-4$，$+\infty )$符合条件；
当$0\leqslant a < 2$时，$t=x^{3}-3x^{2}-a^{3}+3a^{2}$，$x\geqslant a$先增后减，$t_{min}=g(2)=-a^3+3a^{2}-4$，
因为$-a^{3}+3a^{2}=a^{2}(3-a)\geqslant 0(a=0$取等号），所以$t_{min}=g(2)=-a^3+3a^2-4\geqslant -4$，
则此时$M$（a）$=[-a^{3}+3a^{2}-4$，$+\infty )\subseteq [-4$，$+\infty )$也符合条件；
当$a < 0$时，$t=x^{3}-3x^{2}-a^{3}+3a^{2}$，$x\geqslant a$，在$[a$，$0)$严格增，在$[0$，$2]$严格减，在$[2$，$+\infty )$严格增，
$t_{min}=min\{g(a),g(2)\}=min\left\{0,-a^3+3a^2-4\right\}$，
因为$h$（a）$=-a^{3}+3a^{2}-4$，当$a < 0$时，$h\prime$（a）$=-3a^{2}+6a > 0$，则$h$（a）$ > h(0)=-4$，
则此时$M$（a）$=[t_{min}$，$+\infty )\subseteq [-4$，$+\infty )$成立；
综上可知，对于任意$a\in R$，都有$M$（a）$\subseteq [-4$，$+\infty ]$，且存在$a=0$，使得$-4\in M$（a）．
（3）证明：必要性：若$f(x)$为偶函数，
则$M(-c)=\{t\vert t=f(x)-f(-c)$，$x\geqslant -c\}$，$L$（c）$=\{t\vert t=f(x)-f$（c），$x\leqslant c\}$，
当$x\geqslant -c$，$t=f(x)-f(-c)=f(-x)-f$（c），因为$-x\leqslant c$，故$M(-c)=L$（c）；
充分性：若对于任意正实数$c$，均有$M(-c)=L$（c），
其中$M(-c)=\{t\vert t=f(x)-f(-c)$，$x\geqslant -c\}$，$L$（c）$=\{t\vert t=f(x)-f$（c），$x\leqslant c\}$，
因为$f(x)$有最小值，不妨设$f$（a）$=f_{min}=m$，
由于$c$任意，令$c\geqslant \vert a\vert$，则$a\in [-c$，$c]$，所以$M(-c)$最小元素为$f$（a）$-f(-c)=m-f(-c)$．
$L$（c）中最小元素为$m-f$（c），又$M(-c)=L$（c）$\Rightarrow f$（c）$=f(-c)$对任意$c\geqslant \vert a\vert$成立，
所以$f$（a）$=f(-a)=m$，
若$a=0$，则$f$（c）$=f(-c)$对任意$c\geqslant 0$成立$\Rightarrow f(x)$是偶函数；
若$a\ne 0$，此后取$c\in (-\vert a\vert ,\vert a\vert )$，$\left. \begin{array}{*{35}{l}}
M\left( -c \right)f\left( \left| a \right| \right)-f\left( -c \right) \\
L\left( -c \right)f\left( -\left| a \right| \right)-f\left( c \right) \\
\end{array} \right\}\Rightarrow f\left( -c \right)=f\left( c \right)$，
综上，任意$c\geqslant 0$，$f$（c）$=f(-c)$，即$f(x)$是偶函数．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，充分必要条件的证明，函数的奇偶性与集合间的关系，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
2024年高考数学上海春20<-->返回列表
全网搜索"2024年高考数学上海春21"相关
|
