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2024年高考数学上海春18<-->2024年高考数学上海春20
（14分）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．
（1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；
（3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．
答案：（1）$\dfrac{17}{45}$；
（2）平均数285.44克；方差1427.17克$^{2}$，整个果园的单过的平均质量287.69克．
分析：（1）由排列组合公式可得样本空间的样本点的个数及所求的事件的样本点的个数，由古典概型的概率公式可得所求的概率；
（2）由两个级别的箱数之比，可得样本中两个级别的箱数；
（3）由分层抽样的平均数及方差的计算公式，可得168个水果的方差和平均数，进而估计136箱单果的质量．
解：（1）古典概型：设$A$事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，样本空间的样本点的个数$n={C}_{136}^{2}=\dfrac{136\times 135}{2}=9180$，
$A$事件的样本点的公式$m={C}_{102}^{1}\cdot {C}_{34}^{1}=3468$，
所以$P$（A）$=\dfrac{m}{n}=\dfrac{3468}{9180}=\dfrac{17}{45}$；
（2）因为一级果箱数：二级果箱数$=3:1$，
所以8箱水果中有一级果抽取6箱，二级果抽取2箱；
（3）设一级果平均质量为$\overline{x}$，方差为${S}_{x}^{2}$，二级果质量为$\overline{y}$，方差为${S}_{y}^{2}$，总体样本平均质量为$\overline{z}$平均值，方差为$S^{2}$，
因为$\overline{x}=303.45$，$\overline{y}=240.41$，${S}_{x}^{2}=603.46$，${S}_{y}^{2}=648.21$，
所以$\overline{z}=\dfrac{120}{120+48}\times 303.45+\dfrac{48}{120+48}\times 240.41=285.44$克，
$S^{2}=\dfrac{120}{120+48}\times [603.46+(303.45-285.44)^{2}]+\dfrac{48}{120+48}\times [648.21+(240.41-285.44)^{2}]=1427.27$克$^{2}$．
预估：平均质量为$\dfrac{102}{136}\cdot \overline{x}+\dfrac{34}{136}\cdot \overline{y}=287.69$克．
点评：本题考查分层抽样的平均数公式及方差公式的应用，属于基础题．
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