2024年高考数学甲卷-文22

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系

$xOy$ 中，以坐标原点

$O$ 为极点，

$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

$C$ 的极坐标方程为

$\rho =\rho \cos \theta +1$ ．
（1）写出

$C$ 的直角坐标方程；
（2）直线

$l:\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\ {y=t+a}\end{array}\right.(t$ 为参数），若

$C$ 与

$l$ 交于

$A$ 、

$B$ 两点，

$\vert AB\vert =2$ ，求

$a$ 的值．

分析：（1）由已知结合极坐标与直角坐标的互化公式即可求解；
（2）由已知结合参数的几何意义即可求解．
解：（1）因为

$\rho =\rho \cos \theta +1$ ，所以

$\rho ^{2}=(\rho \cos \theta +1)^{2}$ ，
故

$C$ 的直角坐标方程为

$x^{2}+y^{2}=(x+1)^{2}$ ，
即

$y^{2}=2x+1$ ；
（2）将

$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\ {y=t+a}\end{array}\right.$ 代入

$y^{2}=2x+1$ 可得

$t^{2}+2(a-1)t+a^{2}-1=0$ ，
设

$A$ ，

$B$ 所对应的参数分别为

$t_{1}$ ，

$t_{2}$ ，
则

$t_{1}+t_{2}=-2(a-1)$ ，

$t_{1}t_{2}=a^{2}-1$ ，
则

$\vert AB\vert =\sqrt{2}\vert t_{1}-t_{2}\vert =\sqrt{2}\times \sqrt{({t}_{1}+{t}_{2})^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$

$=\sqrt{2}\times \sqrt{4(a-1)^{2}-4({a}^{2}-1)}=2\sqrt{2}\times \sqrt{{a}^{2}-2a+1-{a}^{2}+1}$

$=4\times \sqrt{1-a}=2$ ，
解得：

$a=\dfrac{3}{4}$ ．
点评：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化公式的应用，还考查了参数几何意义的应用，属于中档题．

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