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2024年高考数学甲卷-文21<-->2024年高考数学甲卷-文23
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系$xOy$中，以坐标原点$O$为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线$C$的极坐标方程为$\rho =\rho \cos \theta +1$．
（1）写出$C$的直角坐标方程；
（2）直线$l:\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\ {y=t+a}\end{array}\right.(t$为参数），若$C$与$l$交于$A$、$B$两点，$\vert AB\vert =2$，求$a$的值．
分析：（1）由已知结合极坐标与直角坐标的互化公式即可求解；
（2）由已知结合参数的几何意义即可求解．
解：（1）因为$\rho =\rho \cos \theta +1$，所以$\rho ^{2}=(\rho \cos \theta +1)^{2}$，
故$C$的直角坐标方程为$x^{2}+y^{2}=(x+1)^{2}$，
即$y^{2}=2x+1$；
（2）将$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\ {y=t+a}\end{array}\right.$ 代入$y^{2}=2x+1$可得$t^{2}+2(a-1)t+a^{2}-1=0$，
设$A$，$B$所对应的参数分别为$t_{1}$，$t_{2}$，
则$t_{1}+t_{2}=-2(a-1)$，$t_{1}t_{2}=a^{2}-1$，
则$\vert AB\vert =\sqrt{2}\vert t_{1}-t_{2}\vert =\sqrt{2}\times \sqrt{({t}_{1}+{t}_{2})^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$
$=\sqrt{2}\times \sqrt{4(a-1)^{2}-4({a}^{2}-1)}=2\sqrt{2}\times \sqrt{{a}^{2}-2a+1-{a}^{2}+1}$
$=4\times \sqrt{1-a}=2$，
解得：$a=\dfrac{3}{4}$．
点评：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化公式的应用，还考查了参数几何意义的应用，属于中档题．
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