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2024年高考数学甲卷-文20

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（12分）已知函数

$f(x)=a(x-1)-\ln x+1$ ．
（1）求

$f(x)$ 的单调区间；
（2）若

$a\leqslant 2$ 时，证明：当

$x > 1$ 时，

$f(x) < e^{x-1}$ 恒成立．
分析：（1）先对函数

$f(x)$ 求导，再对

$a$ 分类讨论其单调性，即可求解；
（2）先对原式作差，再通过多次构造函数，并研究其单调性，即可求解．
解：（1）

$f(x)=a(x-1)-\ln x+1$ ，
则

$f'(x)=\dfrac{ax-1}{x}$ ，

$x > 0$ ，
若

$a\leqslant 0$ ，

$f\prime (x) < 0$ ，

$f(x)$ 的减区间为

$(0,+\infty )$ ，无增区间；
若

$a > 0$ 时，当

$0 < x < \dfrac{1}{a}$ 时，

$f(x) < 0$ ，
当

$x > \dfrac{1}{a}$ 时，

$f(x) > 0$ ，
所以

$f(x)$ 的减区间为

$(0,\dfrac{1}{a})$ ，增区间为

$(\dfrac{1}{a},+\infty )$ ；
（2）证明：因为

$a\leqslant 2$ ，
所以当

$x > 1$ 时，

$e^{x-1}-f(x)=e^{x-1}-a(x-1)+\ln x-1\geqslant e^{x-1}-2x+\ln x+1$ ，
令

$g(x)=e^{x-1}-2x+\ln x+1$ ，
则

$g'(x)={e}^{x-1}-2+\dfrac{1}{x}$ ，
令

$h(x)=g'(x)$ ，
则

$h'(x)=e^{x-1}-\dfrac{1}{x^2}$ 在

$(1,+\infty )$ 上递增，

$h'(x) > h'$ （1）

$=0$ ，
所以

$h(x)=g'(x)$ 在

$(1,+\infty )$ 上递增，

$g'(x) > g'$ （1）

$=0$ ，
故

$g(x)$ 在

$(1,+\infty )$ 上递增，

$g(x) > g$ （1）

$=0$ ，
所以当

$x > 1$ 时，

$f(x) < e^{x-1}$ 恒成立．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．

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