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2024年高考数学甲卷-文19<-->2024年高考数学甲卷-文21
（12分）已知函数$f(x)=a(x-1)-\ln x+1$．
（1）求$f(x)$的单调区间；
（2）若$a\leqslant 2$时，证明：当$x > 1$时，$f(x) < e^{x-1}$恒成立．
分析：（1）先对函数$f(x)$求导，再对$a$分类讨论其单调性，即可求解；
（2）先对原式作差，再通过多次构造函数，并研究其单调性，即可求解．
解：（1）$f(x)=a(x-1)-\ln x+1$，
则$f'(x)=\dfrac{ax-1}{x}$，$x > 0$，
若$a\leqslant 0$，$f\prime (x) < 0$，$f(x)$的减区间为$(0,+\infty )$，无增区间；
若$a > 0$时，当$0 < x < \dfrac{1}{a}$时，$f(x) < 0$，
当$x > \dfrac{1}{a}$时，$f(x) > 0$，
所以$f(x)$的减区间为$(0,\dfrac{1}{a})$，增区间为$(\dfrac{1}{a},+\infty )$；
（2）证明：因为$a\leqslant 2$，
所以当$x > 1$时，$e^{x-1}-f(x)=e^{x-1}-a(x-1)+\ln x-1\geqslant e^{x-1}-2x+\ln x+1$，
令$g(x)=e^{x-1}-2x+\ln x+1$，
则$g'(x)={e}^{x-1}-2+\dfrac{1}{x}$，
令$h(x)=g'(x)$，
则$h'(x)=e^{x-1}-\dfrac{1}{x^2}$在$(1,+\infty )$上递增，
$h'(x) > h'$（1）$=0$，
所以$h(x)=g'(x)$在$(1,+\infty )$上递增，$g'(x) > g'$（1）$=0$，
故$g(x)$在$(1,+\infty )$上递增，$g(x) > g$（1）$=0$，
所以当$x > 1$时，$f(x) < e^{x-1}$恒成立．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．
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