2024年高考数学甲卷-文10

（5分）已知直线

$ax+y+2-a=0$ 与圆

$C:x^{2}+y^{2}+4y-1=0$ 交于

$A$ ，

$B$ 两点，则

$\vert AB\vert$ 的最小值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
答案：C
分析：先求得直线恒过

$M(1,-2)$ ，再分析可得当

$MC\bot AB$ 时，

$\vert AB\vert$ 最小，利用勾股定理即可求得

$\vert AB\vert$ 的最小值．
解：直线

$ax+y+2-a=0$ ，即

$a(x-1)+y+2=0$ ，
所以直线恒过点

$M(1,-2)$ ，
圆

$C:x^{2}+y^{2}+4y-1=0$ ，即

$x^{2}+(y+2)^{2}=5$ ，
圆心为

$(0,-2)$ ，半径

$r=\sqrt{5}$ ，
当

$\vert AB\vert$ 最小时，点

$(0,-2)$ 到直线的距离应最大，
即

$MC\bot AB$ 时，

$\vert AB\vert$ 最小，此时

$\vert MC\vert =1$ ，

$\vert AB\vert =2\sqrt{{r}^{2}-{1}^{2}}=4$ ．
故选：C．
点评：本题考查点到直线的距离问题，考查直线与圆的位置关系，属于简单题．

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