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2024年高考数学甲卷-文9<-->2024年高考数学甲卷-文11
（5分）已知直线$ax+y+2-a=0$与圆$C:x^{2}+y^{2}+4y-1=0$交于$A$，$B$两点，则$\vert AB\vert$的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
答案：C
分析：先求得直线恒过$M(1,-2)$，再分析可得当$MC\bot AB$时，$\vert AB\vert$最小，利用勾股定理即可求得$\vert AB\vert$的最小值．
解：直线$ax+y+2-a=0$，即$a(x-1)+y+2=0$，
所以直线恒过点$M(1,-2)$，
圆$C:x^{2}+y^{2}+4y-1=0$，即$x^{2}+(y+2)^{2}=5$，
圆心为$(0,-2)$，半径$r=\sqrt{5}$，
当$\vert AB\vert$最小时，点$(0,-2)$到直线的距离应最大，
即$MC\bot AB$时，$\vert AB\vert$最小，此时$\vert MC\vert =1$，
$\vert AB\vert =2\sqrt{{r}^{2}-{1}^{2}}=4$．
故选：C．
点评：本题考查点到直线的距离问题，考查直线与圆的位置关系，属于简单题．
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