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[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知$f(x)=2\vert x\vert +\vert x-2\vert$．
（1）求不等式$f(x)\leqslant 6-x$的解集；
（2）在直角坐标系$xOy$中，求不等式组$\left\{{\left.\begin{array}{l}{f(x)\leqslant y}\\ {x+y-6\leqslant 0}\end{array}\right.}\right.$所确定的平面区域的面积．
答案：（1）不等式的解集为$[-2$，$2]$．
（2）8．
分析：（1）根据绝对值的意义，表示成分段函数，然后解不等式即可．
（2）作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标，根据三角形的面积公式进行求解即可．
解：（1）当$x\geqslant 2$时，$f(x)=2x+x-2=3x-2$，
当$0 < x < 2$时，$f(x)=2x-x+2=x+2$，
当$x\leqslant 0$时，$f(x)=-2x-x+2=-3x+2$，
则当$x\geqslant 2$时，由$f(x)\leqslant 6-x$得$3x-2\leqslant 6-x$，得$4x\leqslant 8$，即$x\leqslant 2$，此时$x=2$．
当$0 < x < 2$时，由$f(x)\leqslant 6-x$得$x+2\leqslant 6-x$，得$2x < 4$，即$x < 2$，此时$0 < x < 2$．
当$x\leqslant 0$时，由$f(x)\leqslant 6-x$得$-3x+2\leqslant 6-x$，得$2x\geqslant -4$，即$x\geqslant -2$，此时$-2\leqslant x\leqslant 0$．
综上$-2\leqslant x\leqslant 2$，即不等式的解集为$[-2$，$2]$．
（2）不等式组$\left\{{\left.\begin{array}{l}{f(x)\leqslant y}\\ {x+y-6\leqslant 0}\end{array}\right.}\right.$等价为$\left\{\begin{array}{l}{y\geqslant 2\vert x\vert +\vert x-2\vert }\\ {x+y-6\leqslant 0}\end{array}\right.$，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则$B(0,2)$，$D(0,6)$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-6=0}\\ {y=x+2}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\ {y=4}\end{array}\right.$，即$C(2,4)$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-6=0}\\ {y=-3x+2}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\ {y=8}\end{array}\right.$，即$A(-2,8)$，
则阴影部分的面积$S=S_{\Delta ABD}+S_{\Delta BCD}=\dfrac{1}{2}\times (6-2)\times 2+\dfrac{1}{2}\times (6-2)\times 2=4+4=8$．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法以及二元一次不等式表示区域，利用分类讨论思想进行求解是解决本题的关键，是中档题．
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