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2022年高考数学浙江17<-->2022年高考数学浙江19
（14分）在$\Delta ABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$．已知$4a=\sqrt{5}c$，$\cos C=\dfrac{3}{5}$．
（Ⅰ）求$\sin A$的值；
（Ⅱ）若$b=11$，求$\Delta ABC$的面积．
分析：（Ⅰ）根据$\cos C=\dfrac{3}{5}$，确定$C$的范围，再求出$\sin C$，由正弦定理可求得$\sin A$；
（Ⅱ）根据$A$，$C$的正、余弦值，求出$\sin B$，再由正弦定理求出$a$，代入面积公式计算即可．
解：（Ⅰ）因为$\cos C=\dfrac{3}{5} > 0$，所以$C\in (0,\dfrac{\pi }{2})$，且$\sin C=\sqrt{1-co{s}^{2}C}=\dfrac{4}{5}$，
由正弦定理可得：$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}$，
即有$\sin A=\dfrac{a\sin C}{c}=\dfrac{a}{c}\sin C=\dfrac{\sqrt{5}}{4}\times \dfrac{4}{5}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$；
（Ⅱ）因为$4a=\sqrt{5}c\Rightarrow a=\dfrac{\sqrt{5}}{4}c < c$，
所以$A < C$，故$A\in (0,\dfrac{\pi }{2})$，
又因为$\sin A=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，所以$\cos A=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，
所以$\sin B=\sin [\pi -(A+C)]=\sin (A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C=\dfrac{11\sqrt{5}}{25}$；
由正弦定理可得：$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{b}{\sin B}=5\sqrt{5}$，
所以$a=5\sqrt{5}\sin A=5$，
所以$S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}\times 5\times 11\times \dfrac{4}{5}=22$．
点评：本题考查了解三角形中正弦定理、面积公式，属于基础题．
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