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2022年高考数学新高考Ⅰ-17<-->2022年高考数学新高考Ⅰ-19
（12分）记$\Delta ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，已知$\dfrac{\cos A}{1+\sin A}=\dfrac{\sin 2B}{1+\cos 2B}$．
（1）若$C=\dfrac{2\pi }{3}$，求$B$；
（2）求$\dfrac{{a^2}+{b^2}}{c^2}$的最小值．
分析：（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出$B$．
（2）利用诱导公式把$A$用$C$表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论．
解：（1）$\because$$\dfrac{\cos A}{1+\sin A}=\dfrac{\sin 2B}{1+\cos 2B}$，$1+\cos 2B=2\cos ^{2}B\ne 0$，$\cos B\ne 0$．
$\therefore$$\dfrac{\cos A}{1+\sin A}=\dfrac{2\sin B\cos B}{2co{s}^{2}B}=\dfrac{\sin B}{\cos B}$，
化为：$\cos A\cos B=\sin A\sin B+\sin B$，
$\therefore \cos (B+A)=\sin B$，
$\therefore -\cos C=\sin B$，$C=\dfrac{2\pi }{3}$，
$\therefore \sin B=\dfrac{1}{2}$，
$\because 0 < B < \dfrac{\pi }{3}$，$\therefore B=\dfrac{\pi }{6}$．
（2）由（1）可得：$-\cos C=\sin B > 0$，$\therefore \cos C < 0$，$C\in (\dfrac{\pi }{2}$，$\pi )$，
$\therefore C$为钝角，$B$，$A$都为锐角，$B=C-\dfrac{\pi }{2}$．
$\sin A=\sin (B+C)=\sin (2C-\dfrac{\pi }{2})=-\cos 2C$，
$\dfrac{{a^2}+{b^2}}{c^2}=\dfrac{si{n}^{2}A+si{n}^{2}B}{si{n}^{2}C}=\dfrac{co{s}^{2}2C+co{s}^{2}C}{si{n}^{2}C}=\dfrac{(1-2si{n}^{2}C)^{2}+(1-si{n}^{2}C)}{si{n}^{2}C}=\dfrac{2+4si{n}^{4}C-5si{n}^{2}C}{si{n}^{2}C}=\dfrac{2}{si{n}^{2}C}+4\sin ^{2}C-5\geqslant 2\sqrt{2\times 4}-5=4\sqrt{2}-5$，当且仅当$\sin C=\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}$时取等号．
$\therefore$$\dfrac{{a^2}+{b^2}}{c^2}$的最小值为$4\sqrt{2}-5$．
点评：本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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