2022年高考数学新高考Ⅰ-15

（5分）若曲线

$y=(x+a)e^{x}$ 有两条过坐标原点的切线，则

$a$ 的取值范围是　

$(-\infty$ ，

$-4)\bigcup (0$ ，

$+\infty )$ 　．
分析：设切点坐标为

$(x_{0}$ ，

$(x_{0}+a){e}^{{x}_{0}})$ ，利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得

${{x}_{0}}^{2}+a{x}_{0}-a=0$ ，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由△

$> 0$ 即可求出

$a$ 的取值范围．
解：

$y'=e^{x}+(x+a)e^{x}$ ，设切点坐标为

$(x_{0}$ ，

$(x_{0}+a){e}^{{x}_{0}})$ ，

$\therefore$ 切线的斜率

$k={e}^{{x}_{0}}+({x}_{0}+a){e}^{{x}_{0}}$ ，

$\therefore$ 切线方程为

$y-(x_{0}+a){e}^{{x}_{0}}=({e}^{{x}_{0}}+({x}_{0}+a){e}^{{x}_{0}})(x-x_{0})$ ，
又

$\because$ 切线过原点，

$\therefore -(x_{0}+a){e}^{{x}_{0}}=({e}^{{x}_{0}}+({x}_{0}+a){e}^{{x}_{0}})(-x_{0})$ ，
整理得：

${{x}_{0}}^{2}+a{x}_{0}-a=0$ ，

$\because$ 切线存在两条，

$\therefore$ 方程有两个不等实根，

$\therefore$ △

$=a^{2}+4a > 0$ ，解得

$a < -4$ 或

$a > 0$ ，
即

$a$ 的取值范围是

$(-\infty$ ，

$-4)\bigcup (0$ ，

$+\infty )$ ，
故答案为：

$(-\infty$ ，

$-4)\bigcup (0$ ，

$+\infty )$ ．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．

相关知识

导数

学习笔记（共有 0 条）