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2022年高考数学上海11<-->2022年高考数学上海13
（5分）设函数$f(x)$满足$f(x)=f(\dfrac{1}{x+1})$，定义域为$D=[0$，$+\infty )$，值域为$A$，若集合$\{y\vert y=f(x)$，$x\in [0$，$a]\}$可取得$A$中所有值，则参数$a$的取值范围为 $[\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，$+\infty )$ ．
分析：由$x=\dfrac{1}{x+1}$可得$x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，可判断当$x\geqslant \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$时，$\dfrac{1}{x+1}\leqslant \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$；当$0\leqslant x < \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$时，$\dfrac{1}{x+1} > \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$；从而可得$A=\{y\vert y=f(x)$，$x\in [0$，$a]\}$时，参数$a$的最小值为$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，从而求得．
解：令$x=\dfrac{1}{x+1}$得，
$x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$或$x=\dfrac{-\sqrt{5}-1}{2}$（舍去）；
当$x\geqslant \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$时，
$\dfrac{1}{x+1}\leqslant \dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}+1}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故对任意$x\geqslant \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，
都存在$x_{0}\in [0$，$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}]$，$\dfrac{1}{x+1}=x_{0}$，
故$f(x)=f(x_{0})$，
而当$0\leqslant x < \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$时，
$\dfrac{1}{x+1} > \dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}+1}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故$A=\{y\vert y=f(x)$，$x\in [0$，$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}]\}$，
故当$A=\{y\vert y=f(x)$，$x\in [0$，$a]\}$时，
$[0$，$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}]\subseteq [0$，$a]$，
故参数$a$的最小值为$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故参数$a$的取值范围为$[\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，$+\infty )$，
故答案为：$[\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，$+\infty )$．
点评：本题考查了抽象函数的性质的应用，同时考查了集合的应用，属于中档题．
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