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2022年高考数学甲卷-文14<-->2022年高考数学甲卷-文16
（5分）记双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > 0,b > 0)$的离心率为$e$，写出满足条件“直线$y=2x$与$C$无公共点”的$e$的一个值 $2(e\in (1$，$\sqrt{5}]$内的任意一个值都满足题意） ．
分析：求出双曲线渐近线方程，利用直线$y=2x$与$C$无公共点，推出$a$，$b$的不等式，即可得到离心率的范围．
解：双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > 0,b > 0)$的离心率为$e$，$e=\dfrac{c}{a}$，
双曲线的渐近线方程为$y=\pm \dfrac{b}{a}x$，
直线$y=2x$与$C$无公共点，可得$\dfrac{\;b}{a}\leqslant 2$，即$\dfrac{{b}^{2}}{{a}^{2}}\leqslant 4$，即$\dfrac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}\leqslant 4$，
可得$1 < e\leqslant \sqrt{5}$，
满足条件“直线$y=2x$与$C$无公共点”的$e$的一个值可以为：2．
故答案为：$2(e\in (1$，$\sqrt{5}]$内的任意一个值都满足题意）．
点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．
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