2021年高考数学新高考Ⅰ-15

（5分）函数

$f(x)=\vert 2x-1\vert -2\ln x$ 的最小值为____．
分析：求出函数定义域，对

$x$ 分段去绝对值，当

$0<x\leqslant \dfrac{1}{2}$ 时，直接利用单调性求最值；当

$x>\dfrac{1}{2}$ 时，利用导数求最值，进一步得到

$f(x)$ 的最小值．
解：函数

$f(x)=\vert 2x-1\vert -2\ln x$ 的定义域为

$(0,+\infty )$ ．
当

$0<x\leqslant \dfrac{1}{2}$ 时，

$f(x)=\vert 2x-1\vert -2\ln x=-2x+1-2\ln x$ ，
此时函数

$f(x)$ 在

$(0$ ，

$\dfrac{1}{2}]$ 上为减函数，
所以

$f(x)\geqslant f(\dfrac{1}{2})=-2\times \dfrac{1}{2}+1-2\ln \dfrac{1}{2}=2\ln 2$ ；
当

$x>\dfrac{1}{2}$ 时，

$f(x)=\vert 2x-1\vert -2\ln x=2x-1-2\ln x$ ，
则

$f\prime (x)=2-\dfrac{2}{x}=\dfrac{2(x-1)}{x}$ ，
当

$x\in (\dfrac{1}{2}$ ，

$1)$ 时，

$f\prime (x)<0$ ，

$f(x)$ 单调递减，
当

$x\in (1,+\infty )$ 时，

$f\prime (x)>0$ ，

$f(x)$ 单调递增，

$\therefore$ 当

$x=1$ 时

$f(x)$ 取得最小值为

$f$ （1）

$=2\times 1-1-2\ln 1=1$ ．

$\because 2\ln 2=\ln 4>\ln e=1$ ，

$\therefore$ 函数

$f(x)=\vert 2x-1\vert -2\ln x$ 的最小值为1．
故答案为：1．
点评：本题考查函数的最值及其几何意义，利用导数求最值的应用，考查运算求解能力，是中档题．

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导数

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