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2020年高考数学新高考Ⅱ-21

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（12分）已知椭圆

$C:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>b>0)$ 过点

$M(2,3)$ ，点

$A$ 为其左顶点，且

$AM$ 的斜率为

$\dfrac{1}{2}$ ．
（1）求

$C$ 的方程；
（2）点

$N$ 为椭圆上任意一点，求

$\Delta AMN$ 的面积的最大值．

分析：
（1）利用已知条件求出

$A$ 的坐标，然后求解

$b$ ，得到椭圆方程．
（2）设出与直线

$AM$ 平行的直线方程，与椭圆联立，利用判别式为0，求出椭圆的切线方程，然后求解三角形的最大值．

解答：（1）由题意可知直线

$AM$ 的方程为：

$y-3=\dfrac{1}{2}(x-2)$ ，
即

$x-2y=-4$ ，
当

$y=0$ 时，解得

$x=-4$ ，所以

$a=4$ ，
椭圆

$C:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>b>0)$ 过点

$M(2,3)$ ，
可得

$\dfrac{4}{16}+\dfrac{9}{{b}^{2}}=1$ ，解得

$b^{2}=12$ ，
所以

$C$ 的方程：

$\dfrac{{x}^{2}}{16}+\dfrac{{y}^{2}}{12}=1$ ．
（2）设与直线

$AM$ 平行的直线方程为：

$x-2y=m$ ，当直线与椭圆相切时，与

$AM$ 距离比较远的直线与椭圆的切点为

$N$ ，此时

$\Delta AMN$ 的面积取得最大值．

$x-2y=m$ 代入椭圆方程：

$\dfrac{{x}^{2}}{16}+\dfrac{{y}^{2}}{12}=1$ ．
化简可得：

$16y^{2}+12my+3m^{2}-48=0$ ，所以△

$=144m^{2}-4\times 16(3m^{2}-48)=0$ ，即

$m^{2}=64$ ，解得

$m=\pm 8$ ，
与

$AM$ 距离比较远的直线方程：

$x-2y=8$ ，
利用平行线之间的距离为：

$d=\dfrac{8+4}{\sqrt{1+4}}=\dfrac{12\sqrt{5}}{5}$ ，

$\vert AM\vert =\sqrt{(2+4)^{2}+{3}^{2}}=3\sqrt{5}$ ．
所以

$\Delta AMN$ 的面积的最大值：

$\dfrac{1}{2}\times 3\sqrt{5}\times \dfrac{12\sqrt{5}}{5}=18$ ．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考查学生分析问题解决问题的数学素养，是中档偏难题．

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