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2020年高考数学全国卷Ⅱ--文19

(2020全国Ⅱ卷计算题)

已知椭圆)的右焦点与抛物线的焦点重合,的中心与的顶点重合,过且与轴垂直的直线交两点,交两点,且

(1)求的离心率。

(2)若的四个顶点到的准线距离之和为,求的标准方程。

【出处】
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷):文数第19题
【答案】

(1)由题意可得

所以可记方程为

代入方程

可得

所以

代入方程

可得

所以

又因为

所以

又因为

所以

所以

解得(舍去),

所以的离心率是

(2)由(1)知

所以

所以的方程可写作

且四个顶点为

因为的四个顶点到的准线距离之和为,且的准线为直线

所以

解得

所以的标准方程是的标准方程是

【解析】

本题主要考查圆锥曲线。

(1)分别计算出,利用可得,再根据即可得出离心率。

(2)将的标准方程用表示出来,得出各顶点坐标,利用的四个顶点到的准线距离之和为,可得,即可求得的标准方程。

【考点】
椭圆的概念、性质与基本量的计算抛物线的概念、性质与基本量的计算圆锥曲线
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