2019年高考数学新课标1--理20<-->2019年高考数学新课标1--理22
（12分）
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验。试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验。对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得分。甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为。
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予分，（，，，）表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，（，
，，），其中，，。假设，。
（i）证明：（，，，，）为等比数列；
（ii）求，并根据的值解释这种试验方案的合理性。
（1）由题意得，每轮试验可能有以下种情况：
①甲药治愈且乙药治愈，此时，，
②甲药治愈且乙药未治愈，此时，，
③甲药未治愈且乙药治愈，此时，，
④甲、乙药均未治愈，此时，，
综上所述，的分布列为
（2）（i）证明：由（1）得，
，
所以，
移项可得，
当时，，
因为，所以。
即成立，
所以（，，，，）为等比数列。
（ii）由（i）得，令，当时，，
因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列。
则，
,
相加得，
即，
又因为，
因为 ①，
②，
③，
，，
所以由②得，
由①②③得，
即
。
表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为，乙药治愈率为时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理。
本题主要考查等比数列、随机变量及其分布列以及数列的求和。
（1）一轮试验中，试验的结果有四种，每种结果甲药的得分记为，将四种结果的概率分别求出，即可得出分布列。
（2）（i）由题意，分别求出，，的值，并根据等式移项，可得出等比关系式，即可证得。
（ii）由，，，，相加可得，根据可整理得，再结合答案中①②③式与，即可求出，最终结合实际意义解释即可。
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