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2018年高考数学新课标1--理22

(2018新课标Ⅰ卷计算题)

选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2。以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ3=0

(1)求C2的直角坐标方程;

(2)若C1C2有且仅有三个公共点,求C1的方程。

【出处】
2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷):理数第22题
【答案】

(1)因为C2ρ2+2ρcosθ3=0

所以C2的直角坐标方程为:x2+y2+2x3=0

(2)因为C2x2+y2+2x3=0,即C2(x+1)2+y2=4

所以C2是以(1,0)为圆心,2为半径的圆。

又因为C1y=k|x|+2是关于y轴对称的曲线,

C1y={kx+2,x0kx+2,x<0

显然,若k=0时,C1C2相切,此时只有一个交点;

k>0时,C1C2无交点。

C1C2有且仅有三个公共点,

则必须满足k<0y=kx+2(x>0)C2相切,

所以圆心到射线的距离为d,则d=|2k|1+k2=2

所以k=0k=43

因为k<0,所以k=43

所以C1y=k=43|x|+2

【解析】

本题主要考查极坐标和圆的方程。

(1)直接利用极坐标与直角坐标的关系可求。

(2)要对题目中的三个交点的情况进行分析,尤其是绝对值函数进行分类讨论,最终利用直线与圆相切即可求得。

【考点】
坐标系圆与方程
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