2018年高考数学新课标1--理19

（1）当$l$与$x$轴垂直时，$x=1$，代入椭圆得$\dfrac{1}{2}+y^2=1$，$y=\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，

所以$A(1,\dfrac{\sqrt{2}}{2})$或$A(1,-\dfrac{\sqrt{2}}{2})$，

所以$AM$的方程为$y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x-2)$或$y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x-2)$。

（2）直线$l$的斜率为$0$时，$A$，$B$与椭圆左、右顶点重合，$\angle OMA =\angle OMB=0$；

直线$l$的斜率不为$0$时，设直线$l$的方程为$x=ty+1$，点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，

联立直线$l$与椭圆方程$\begin{cases}\dfrac{x^2}{2}+y^2=1\\ -x+ty+1=0\end{cases}$，
消去$y$得$(2+t^2)x^2-4x+2(1-t^2)=0$，

则$\begin{cases} x_1+x_2=-\dfrac{-4}{2+t^2}\\ x_1 x_2=\dfrac{2(1-t^2)}{2+t^2}\end{cases}$，
$y_1+y_2=-\dfrac{2t}{2+t^2}$，$y_1 y_2=\dfrac{-1}{2+t^2}$，
$x_1 y_2+x_2 y_1=2t y_1 y_2+y_1+y_2=\dfrac{-4t}{2+t^2}$，

$\begin{align}k_{AM}+k_{BM}&=\dfrac{y_1}{x_1 -2}+\dfrac{y_2}{x_2-2}\\ &=\dfrac{(x_2 y_1+x_1 y_2)-2(y_1 +y_2)}{(x_1 -2)(x_2 -2)}\\ &=\dfrac{\dfrac{-4t}{2+t^2}-2(-\dfrac{2t}{2+t^2})}{(x_1 -2)(x_2 -2)}\\ &=0\end{align}$，

所以直线$AM$与$BM$的倾斜角互补，

所以$\angle OMA=\angle OMB$。