2015年高考数学山东--文20<-->返回列表
（本小题满分分）
平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的离心率为，且点在椭圆上。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆：，为椭圆上任意一点。过点的直线交椭圆于，两点，射线交椭圆于点。
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求面积的最大值。
（Ⅰ）离心率为，即。因为点在椭圆上，所以。又因为，可由得，，所以椭圆的方程为。
（Ⅱ）（ⅰ）设，将其代入的方程得，所以，所以点在椭圆上。因为点为，所以直线的方程为，当时，，所以点在直线上。所以为椭圆与直线的交点即点。所以点坐标为，所以。
（ⅱ）设，，将代入椭圆的方程，可得，由，可得，则有，。所以.因为直线与轴交点的坐标为，所以的面积。
设，将代入椭圆的方程，可得，由，可得，解得，因此。故，当且仅当，即时取得最大值，由（i）知，面积为，所以面积得最大值为。
本题主要考查椭圆的基本性质。
（1）将已知点代入椭圆方程，因为离心率，即可求得椭圆的基本方程。
（2）（i）将代入（1）中求得的椭圆方程，可求得直线的方程为，点坐标为，所以。
（ii）设出，的坐标，联立椭圆与直线方程，并利用韦达定理，根的判别式得到，之间的关系式，因为的面积，最后利用基本不等式解出最值。
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