2015年高考数学四川--文20<-->返回列表
（本小题满分14分）
已知函数，其中。
（1）设是的导函数，讨论的单调性；
（2）证明：存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解。
（Ⅰ）由已知，函数的定义域为，，所以。当时，，单调递减；当时，，单调递增。
（Ⅱ）由，解得。令，则，。于是，存在，使得。令，其中（）。由知，函数在区间上单调递增。故，即。当时，有，。再由（Ⅰ）知，在区间上单调递增，当时，，从而；当时，，从而。又当时，，故时，。
综上所述，存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（Ⅰ）求出的解析式，然后对求导，讨论与的大小关系即可得到的单调性；
（Ⅱ）令求得，将此代入构造，再利用零点存在定理及导函数与原函数单调性的关系，即可得证结论成立。
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