2015年高考数学广东--文20<-->返回列表
（本小题满分14分）
设为实数，函数。
（1）若，求的取值范围；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，讨论在区间内的零点个数。
（1）因为，所以，即，所以的取值范围为；
（2）①当时，，
因为，所以函数在上单调递增；
②当时，，
因为，，所以函数在上单调递减；
（3）因为，所以，，
又由（2）知在上单调递减，所以，在区间上，，，
又因为函数在上单调递减，所以，在上单调递减，
根据零点存在定理，在上只有一个零点；
在区间上，，
令，则。
当时，，在上，，在上没有零点，此时，在上只有一个零点；
当时，，又在上单调递增，且，所以，根据零点存在定理，在区间上有一个零点，此时，在上有两个零点。
本题主要考查函数的单调性以及导数在研究函数中的应用。
（1）将代入的解析式，平方取绝对值即可求得的取值范围；
（2）分类讨论取绝对值，化简，然后利用二次函数的单调性即可求得对应的的单调性；
（3）分和两种情形，令，对求导，利用零点存在定理和的单调性求得在上零点的个数。
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