2015年高考数学福建--文20<-->2015年高考数学福建--文22
（本小题满分12分）
已知函数。
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为。
（ⅰ）求函数的解析式；
（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得。
（1）因为，所以函数的最小正周期。
（2）（ⅰ）将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，再向下平移（）个单位长度后得到的图象，又已知函数的最大值为，所以，解得，所以。
（ⅱ）要证明存在无数多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即。由知，存在，使得。由正弦函数的性质可知，当时，均有，因为的周期为，所以当（）时，均有。因为对任意的整数，，所以对任意的正整数，都存在正整数，使得。亦即，存在无穷多个互不相同的正整数，使得。
本题主要考查函数的概念与性质。
（1）根据函数的概念与性质，将函数化简为，即可得到最小正周期；
（2）（i）根据题意，函数图象平移后可得函数，因为函数最大值为，即可得到的值，故可得函数的解析式；
（ii）根据题意，要证明存在无数多个互不相同的正整数，使得，即使得，故，由正弦函数的性质，可得对任意正整数，都存在正整数，使得，故得证。
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