2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：文数第17题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：文数第19题
（本小题满分13分）
设椭圆的左、右焦点分别为，。右顶点为，上顶点为。已知。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切于点，。求椭圆的方程。
（Ⅰ）设椭圆右焦点的坐标为，由，可得，又，则。所以椭圆的离心率。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，。故椭圆方程为。设，由，有，，根据已知，有，即，又，故有 ①，因为点在椭圆上，故②，由①和②可得。而点不是椭圆的顶点，故，代入①得，即点的坐标为。设圆的圆心为，则，，进而圆的半径。由已知，有，又，故有，解得。故所求椭圆的方程为。
本题主要考查椭圆与直线方程。
（Ⅰ）根据已知条件建立关于，的方程，求解即可求得离心率；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中结论得到的椭圆方程，设出点坐标，由已知条件论证可得不是椭圆的顶点，将点坐标用关于的表达式，设出圆心坐标，结合已知条件即可解得值，即求出了椭圆的方程。
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