2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）：文数第22题<-->返回列表
（本小题满分14分）
设函数，。
（Ⅰ）当（为自然对数的底数）时，求的极小值；
（Ⅱ）讨论函数零点的个数；
（Ⅲ）若对任意，恒成立，求的取值范围。
（Ⅰ）由题设，当时，，则，所以当，，在上单调递增。所以时，，在上单调递增。所以时，取得极小值，所以的极小值是。
（Ⅱ）由题设，令，得。设，则，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减。所以是的唯一极值点，且时极大值点。因此也是的最大值，所以的最大值为。
又，结合的图像（如图），可知①当时，函数无零点；②当时，函数有且仅有一个零点；③当时，函数有两个零点。④当时，函数有且仅有一个零点。综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点。
（Ⅲ）对任意的，恒成立，等价于恒成立（*）。设，所以（*）等价于在上单调递减。由在恒成立，得恒成立，所以（对，仅在时成立），所以的取值范围是。
本题主要考查利用函数的单调性判断函数的最值问题。
（Ⅰ）对函数求导，求出函数在定义域内的单调性，找到最小值。
（Ⅱ）利用函数的的单调性找到的取值范围，然后根据得不同取值，找到函数的零点情况。
（Ⅲ）找到问题的等价函数，然后利用函数的单调性，得到函数的最小值，且这个最小值是关于的函数，根据最小最必须小于，得到的取值范围。
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