2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）：文数第21题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）：文数第23题
（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分。
在平面直角坐标系中，对于直线和点，，记。若，则称点，被直线分隔。若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点，被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线。
（1）求证：点，被直线分隔；
（2）动点到点的距离与到轴的距离之积为。设点的轨迹为，求的方程，并证明轴为曲线的分隔线。
解：（1）因为，所以点，被直线分隔。
（2）直线与曲线有公共点 的充要条件是方程组有解，即。因为直线是曲线的分隔线，故它们没有公共点，即。
当时，对于直线，曲线上的点和满足，即点和被分隔。故实数的取值范围是。
（3）设的坐标为，则曲线的方程为，即。对任意的，不是上述方程的解，即轴与曲线没有公共点。又曲线上的点和对于轴满足，即点和被轴分隔。所以轴为曲线的分隔线。
本题主要考查直线与圆的方程。
（1）将两点坐标方程代入已知条件中即可得证；
（2）联立直线方程与曲线方程初步得到的取值范围，根据分隔线的性质再次讨论即可；
（3）设出点的坐标，将已知条件代入即可得到其轨迹方程，根据定义也可得到轴为曲线的分隔线。
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