2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）：理数第19题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）：理数第21题
（本小题满分13分）
已知椭圆的焦距为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，。
（ⅰ）证明：平分线段（其中为坐标原点）；
（ⅱ）当最小时，求点的坐标。
（Ⅰ）由已知可得解得，，所以椭圆的标准方程是。
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，的坐标是，设点的坐标为，则直线的斜率。
当时，直线的斜率，直线的方程是；
当时，直线的方程是，也符合的形式。
设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，得，消去，得，其判别式，所以，，，所以的中点的坐标为。所以直线的斜率，又直线的斜率，所以点在直线上，因此平分线段。
（ⅱ）由（ⅰ）可得，，。所以。当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值，所以当最小时，点的坐标是或。
本题主要考查椭圆的标准方程和直线与方程。
（Ⅰ）由已知条件及求解；
（Ⅱ）（ⅰ）联立直线与椭圆的方程求点坐标
（ⅱ）将的解析式表示出来，用基本不等式求最值。
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