2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷):理数第18题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷):理数第20题
(本小题满分12分)
如图,四棱柱的所有棱长都相等,,,四边形和四边形均为矩形。
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值。
(Ⅰ)如图,因为四边形为矩形,所以,同理。因为,所以,而,因此,由题意知,,故。
(Ⅱ)解法1:如图,过作于,连结。由(Ⅰ)知,,所以,于是。又因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形是菱形。因此,从而,所以,于是,进而,故是二面角,的平面角。不妨设,因为,所以,,,在中,易知,而,于是,故,即二面角的余弦值为。
解法2:因为四棱柱的所有棱长相等,所以四边形是菱形,因此,又,从而,,两两垂直。如下图,以为原点,,,,所在的直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,不妨设,因为,所以,,于是相关个点的坐标为:,,。易知,是平面的一个法向量,设是平面的一个法向量,则,即,取,则,,所以,设二面角的大小为,易知为锐角,于是,故二面角的余弦值为。
本题主要考查点线面之间的位置关系。
(1)只需证明垂直于平面内两条相交直线即可;
(2)利用建系求法向量即可求解。
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