2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：文数第21题<-->返回列表
（本题满分14分）
在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多。记点的轨迹为。
（Ⅰ）求轨迹的方程；
（Ⅱ）设斜率为 的直线经过定点。求直线 与轨迹恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 的相应取值范围。
（Ⅰ）设点，依题意得，即。化简整理得。故的轨迹的方程为。
（Ⅱ）在点的轨迹中，记，（）。依题意，可设直线。由方程组，可得。 ①
（1）当时，此时。把带入轨迹的方程，得。故此时直线与轨迹恰好有一个公共点。
（2）当时，方程①的判别式为。 ② 设直线与轴的交点为，则由，令，得。 ③
（i）若，由②③解得，或。即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好有一个公共点。
（ii）若或，由②③解得，或，即当时，直线与只有一个公共点，与有一个公共点。当时，直线与有两个公共点，与没有公共点。
故当时，直线与轨迹恰好有两个公共点。
（iii）若，由②③解得，或。即当时，直线与有两个公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好有三个公共点。
综合（1）（2）可知，当时，直线与轨迹恰好有一个公共点；当时，直线与轨迹恰好有两个公共点；当时，直线与轨迹恰好有三个公共点。
本题主要考查曲线与方程。
（1）设出动点坐标，按题设条件中的等量关系列等式化简即可得到答案；
（2）设出过定点的直线方程，与第一问所求轨迹方程联立求解，即可得到答案。
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