2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：理数第19题

几何方法

（Ⅰ）证明：如图，连接，由是正方体，知。当时，是的中点，又是的中点，所以。所以。

而平面，且平面，故直线平面。

（Ⅱ）如图，连接。因为，分别是，的中点，所以，且。又，，从而，且。在和中，因为，，于是，所以四边形是等腰梯形。同理可证四边形是等腰梯形。

分别取，，的中点为，，，连接，，则，，而，故是面与面所形成的的二面角的平面角。

若存在，使面与面所称的二面角为直二面角，则。连接，，则由，且，知四边形是平行四边形。连接，以为内，是，的中点，所以。

在中，，，。由，得，解得，故存在使面与面所称的二面角为直二面角。

向量方法

以为原点，射线，，分别为，，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得，，，，。，，。

（Ⅰ）证明：当时，，因为，所以，即。而平面，且平面，故直线平面。

（Ⅱ）设平面的一个法向量为，则由，可得。于是可取。同理可得平面的一个法向量为。若存在，使面与面所称的二面角为直二面角，则，即，解得。故存在使面与面所称的二面角为直二面角。