2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：文数第21题<-->返回列表
（本小题满分14分）
已知函数（为常数）的图象与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为。
（Ⅰ）求的值及函数的极值；
（Ⅱ）证明：当时，；
（Ⅲ）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当时，恒有。
解法一：（Ⅰ）由，得。又，得。所以，。令，得。当时，，单调递减；当时，，单调递增。所以当时，有极小值。且极小值为，无极大值。
（Ⅱ）令，则。由（Ⅰ）得，，即。所以在上单调递增，又，所以当时，，即。
（Ⅲ）对任意给定的正数，取，由（Ⅱ）知，当时，。所以当时，，即，因此，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有。
解法二：（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）同解法一。
（Ⅲ）令，要使不等式成立，只要成立。而要使成立，则只需要，即成立。
①若，则，易知当时，成立。即对任意，取，当时，恒有。
②若，令，则，所以当时，，在内单调递增。取，，易知，，所以。因此对任意，取，当时，恒有。综上，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有。
解法三：（Ⅰ）同解法一。
（Ⅲ）①若，取，由（Ⅱ）的证明过程知，，所以当时，有，即。
②若，令，则。令得。当时，，单调递增。取，，易知，又在内单调递增，所以当时，恒有，即。综上，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（Ⅰ）通过函数导数与切线斜率的关系可求，通过导数的值求极值；
（Ⅱ）可以先设一个函数，通过求导数值判断函数的单调关系来判断；
（Ⅲ）通过（Ⅱ）得到的关系来证明。
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