2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）：理数第22题

（Ⅰ）解法一：，。再由题设条件知。从而是首项为公差为的等差数列，故，即（）。

解法二：，。可写为，，。因此猜想。下用数学归纳法证明上式：当时结论显然成立。假设时结论成立，即，则。这就是说，当时结论成立。所以（）。

（Ⅱ）解法一：设，则。令，即，解得。下用数学归纳法证明加强命题。当时，，，所以，结论成立。假设时结论成立，即。易知在上为减函数，从而，即。再由在上为减函数得。故，因此。这就是说，当时结论成立。综上，符合条件的存在，其中一个值为。

解法二：设，则。

先证：（）①

当时，结论明显成立。假设时结论成立，即。易知在上为减函数，从而。即，这就是说，当时结论成立。故①成立。

再证：（）②

当时，，，有，即时②成立。假设时，结论成立，即。由①及在上为减函数，得，。这就是说，当时②成立，所以②对一切成立。

由②得，即，因此。③

又由①、②及在上为减函数得，即。所以，解得。④

综上，由②、③、④知存在使对一切成立。