2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）：理数第19题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）：理数第21题
（本题满分12分）
已知圆：，圆：，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求。
（Ⅰ）由已知得圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，设圆的圆心为，半径为。因为圆与圆外切并且与圆内切，所以。由椭圆的定义可知，曲线是以为左、右焦点，长半轴长为，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为。
（Ⅱ）对于曲线上任意一点，由于，所以，当且仅当圆的圆心为时，，所以当圆的半径最长时，其方程为：。若的倾斜角为，则与轴重合，可得；若的倾斜角不为，由知不平行于轴，设与的交点为，则，可求得，所以可设：，由与圆相切得，解得。当时，将代入，并整理得，解得，所以；当时，由图形的对称性可知。综上，或。
两个圆相外切，则与这两个圆都相切的直线有三条，容易忽略的是过两圆切点且与两圆圆心连线垂直的直线。
本题主要考查圆锥曲线中椭圆的定义和直线与椭圆的位置关系的相关问题。
（Ⅰ）首先应该明确圆与圆及圆的位置关系。由题意可知 ，可设圆的半径为，则可得，故，由此易知，点的轨迹为椭圆，且椭圆的半长轴，则。但是应该特别考虑当移动到这一点的时候，是不能形成圆的。故应该舍去。即点的方程为。
（Ⅱ）此问可以先通过直接观察的方法确定当圆的直径最长时，点的位置。只有将圆与圆的位置确定之后，才能继续去观察直线与圆、圆相切的情形。此时，可以得到满足题目条件的圆的方程为。那么直线与圆、圆都相切的时候共有三种情况。第一种，直线的斜率不存在时，可解出的一种情况。第二种及第三种，即当直线的斜率存在时，这两种情况的直线是关于轴对称的，故可以归结到一起同时考虑，此时需要求出直线的方程，与椭圆方程联立，最后利用弦长公式求出即可。
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