2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：理数第16题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：理数第18题
（本小题满分13分）
如图，四棱柱中，侧棱⊥底面，，⊥，，，为棱的中点。
（1）证明⊥；
（2）求二面角的正弦值；
（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长。
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，依题意得，，，，，。
（1）易得，，于是，所以。
（2），设平面的法向量，
则，即，
消去，得，不妨令，可得一个法向量为。
由（1）知，又，可得平面，所以为平面的一个法向量。
于是，从而，
所以二面角的正弦值为。
（3），，
设，，则有，
可取为平面的一个法向量。
设为直线与平面所成的角，则。
于是，解得，所以。
本题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直。
（1）建立空间直角坐标系，欲证，只需证；
（2）求二面角的正弦值，只需求出两个半平面的法向量，。然后利用求出二面角的余弦值，再由余弦值得到正弦值；
（3）点在线段上，由设出参数，求解出满足条件的即得到点坐标及线段的长。
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