2013年普通高校学校招生全国统一考试（上海卷）：理数第21题<-->2013年普通高校学校招生全国统一考试（上海卷）：理数第23题
（本小题满分12分）
如图，已知曲线，曲线，是平面上一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”。
（1）在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
（2）设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点”；
（3）求证：圆内的点都不是“型点”。
（1）的左焦点为，过的直线与交于，与交于，故的左焦点为“型点”，且直线可以为；
（2）直线与有交点，则，若方程组有解，则必须；直线与有交点，则，若方程组有解，则必须，故直线至多与曲线和中的一条有交点，即原点不是“型点”。
（3）显然过圆内一点的直线若与曲线有交点，则斜率必存在；根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线交于点（），则：，直线与圆内部有交点，故，化简得， ①；若直线与曲线有交点，则，，化简得： ②。由①②得，，但此时，因为，，，即①式不成立；当时，①式也不成立。
综上，直线若与圆内有交点，则不可能同时与曲线和有交点，即圆内的点都不是“型点” 。
本题主要考查直线与双曲线相交问题。
（1）了解型点可知，过焦点垂直轴的直线就满足条件。
（2）首先利用直线与直线有交点，联立直线方程，可以解得斜率的取值范围。然后利用双曲线的几何性质，比较直线斜率与渐近线的斜率大小，得到直线与双曲线没有交点的结论，得证。
（3）设圆内一点的直线方程的斜率为，利用直线分别与两个曲线的方程联立，利用两个方程组均有解在上，求斜率的取值范围，若取值范围为空集，则结论得证。
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