2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）：文数第21题<-->返回列表
（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）为椭圆上满足的面 积为的任意两点，为线段的中点，射线交椭圆与点，设，求实数的值。
（Ⅰ）设椭圆的方程为，
由题意得，解得 ，所以椭圆的方程为。
（Ⅱ）（1）当两点关于轴对称时，设直线的方程是，
由题意知或。
将代入得。
所以，解得或。①
又
且点在椭圆上，所以，即。②
由①②得或。又因，所以或。
（2）当两点关于轴不对称时，设直线的方程是，
由消整理得，
设，，由判别式得。
此时，，，
所以
因为点到直线的距离，
又因，所以③
令，代入③整理得，
解得或，即或④
且点在椭圆上，所以，
即⑤
由④⑤得或。
又因，所以或。
综合（1）（2）得或。
本题主要考查椭圆的性质、直线与椭圆方程联立求解的技巧和向量的线性计算。本题特别要注意分情况讨论。
（1）根据题中给出的条件结合椭圆性质可列出关于的方程组，进而求出椭圆方程。
（2）分是否垂直于轴两种情况讨论。
当垂直于轴时，可求出直线方程，接着得到坐标和坐标，将坐标代入椭圆可求出值。
当不垂直于轴时，将直线方程与椭圆方程联立，可求出表达式，求出与直线斜率的关系，再由在椭圆上，就可求解出值。
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