2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）： 理数第21题<-->返回列表
(14分)
已知函数，为常数且。
（1） 证明：函数的图象关于直线对称；
（2） 若满足，但，则称为函数的二阶周期点，如果有两个二阶周期点，试确定的取值范围；
（3） 对于（2）中的和，设为函数的最大值点，，，，记的面积为，讨论的单调性。
（1）因为，有，所以函数的图象关于直线对称。
（2）当时，有 ，所以只有一个解，又，故0不是二阶周期点。
当时，有
所以有解集，又当时，，故中的所有点都不是二阶周期点；
所以有四个解，又，故只有是的二阶周期点。
综上所述，所求的取值范围为。
（3）由（2）得，因为为函数的最大值点，所以或。
当时，。求导得：，所以当时，单调递增，当时单调递减；
当时，，求导得，因，从而有，所以当时单调递增。
对于（2）中的的分类讨论，由，可得要对的取值范围讨论，，可知对与的大小关系分类，关键点在于去绝对值。
本题主要考查函数和分类讨论以及导数的应用。
（1）函数的图象关于直线对称；
（2）分，两种情况求解，求出其中满足有两根的范围；
（3）由（2）可得，点的坐标，又为函数的最大值点，所以或，分别写出两种情况下的表达式，通过分析其导函数的正负确定其单调性。
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