2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）：理数第17题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）：理数第19题
如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到。现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为。在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到．假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，。
（1）求索道的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内？
（1）如图：
作于点，设，则，
，由，知：。
（2）设乙出发分钟后到达点，此时甲到达点，如图所示。
则：，
由余弦定理得：，
其中，当()时，最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短。
（3）由（1）知：，甲到用时：，
若甲等乙3分钟，则乙到用时：，在上用时： 。
此时乙的速度最小，且为：＝。
若乙等甲3分钟，则乙到用时：，在上用时： 。
此时乙的速度最大，且为：
故乙步行的速度应控制在范围内。
本题主要考查正余弦定理的应用以及简单的三角恒等变换。
（1）做垂线将原三角形转化为两个直角三角形，通过设出公共边，再表示出其他的边，根据已知条件列求出公共边，得到所求边。
（2）假设走了，在中，，，已知，用余弦定理求出，再求其最小值即可。
（3）由第一问求出，甲所用时间一定，根据甲等乙还是乙等甲分类讨论，确定乙步行所用的时间，再求出速度范围。
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