2013年普等高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：文数第20题<-->返回列表
（本小题满分13分）
已知函数。
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）证明：当时，。
（Ⅰ）函数的定义域是。
所以当时，单调递增。
当时，单调递减。
所以在上单调递增，在上单调递减。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，只需要证明当时，即可。。令，，，令，。在上单调递减在上单调递减在上单调递减，当时，所以，当且时，。
本题主要考查导数在研究函数中的应用和证明不等式常用的方法。
（Ⅰ）先求出函数的定义域，然后将求导，即可求出单调区间。
（Ⅱ）由表达式可以看出，当时，；当时，。根据（Ⅰ）中结论可以知道，设，则。所以如果，即若，即令，只要证明在内恒为负，不等式得证。于是求出在此定义域内的最大值，若最大值小于零，则本题得证。
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