2013年普等高等学校招生全国统一考试(湖南卷):文数第16题<-->2013年普等高等学校招生全国统一考试(湖南卷):文数第18题
(本小题满分12分)
如图,在直棱柱中,,,是的中点,点在棱上运动。
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)当异面直线所成的角为时,求三棱锥的体积。
(Ⅰ)因为为动点,所以需证面。
因为是直棱柱,所以面,且面。
又因为是等腰直角三角形且为的中点,所以。
由上两点,且面
且面。
(Ⅱ)因为,所以在中,;
在中,,
因为是直棱柱,所以是三棱柱的高。,所以三棱柱的体积为。
本题主要考查空间几何体中点、线、面的位置关系和三棱柱提及的计算。
(Ⅰ)要证两条直线互相垂直,可证一条直线垂直于另一条直线所在的平面。本题中可发现平面,本题得证。
(Ⅱ)有图可以发现,所以。又因为平面,故可以求得该三棱柱的体积。
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