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2013年普等高等学校招生全国统一考试(湖南卷):文数第17题

(2013湖南卷计算题)

(本小题满分12分)

如图,在直棱柱中,的中点,点在棱上运动。

(Ⅰ)证明:

(Ⅱ)当异面直线所成的角为时,求三棱锥的体积。

【出处】
2013年普等高等学校招生全国统一考试(湖南卷):文数第17题
【答案】

(Ⅰ)因为为动点,所以需证

因为是直棱柱,所以,且

又因为是等腰直角三角形且的中点,所以

由上两点,且

(Ⅱ)因为,所以中,

中,

因为是直棱柱,所以是三棱柱的高。,所以三棱柱的体积为

【解析】

本题主要考查空间几何体中点、线、面的位置关系和三棱柱提及的计算。

(Ⅰ)要证两条直线互相垂直,可证一条直线垂直于另一条直线所在的平面。本题中可发现平面,本题得证。

(Ⅱ)有图可以发现,所以。又因为平面,故可以求得该三棱柱的体积。

【考点】
空间几何体点、直线、平面的位置关系
【标签】
图解法
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