2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：理数第20题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：理数第22题
（本小题满分13分）
如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为， ，过原点且不与轴重合的直线 与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为．记，和的面积分别为和。
（Ⅰ）当直线 与轴重合时，若，求的值；
（Ⅱ）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得，并说明理由。
（Ⅰ），所以，
解得：（舍去小于1的根）。
（Ⅱ）设椭圆：，：，直线 ：，
。
同理可得，。
又因为和的的高相等，
，
如果存在非零实数使得，则有，
即：，解得。
所以当时，，存在这样的直线 ；当时，，不存在这样的直线 。
本题主要考查圆锥曲线以及线段比例关系的转化。
（Ⅰ）由于椭圆与的中心在坐标原点，且长轴相等。所以和分别以为底时高相等，所以可将其面积之比转化为线段之比，即，然后再分别用表示出，然后求解即可。
（Ⅱ）本题可以通过点到直线的距离公式得到和分别以为底时的高相等，所以。又因为在同一条直线上，所以；所以。又因为关于原点对称，所以。然后再设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到代入计算并判断即可。
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