2013年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）：理数第18题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）：理数第20题
（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，，，和都是等边三角形。
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的大小。
（Ⅰ）取的中点，连结，则为正方形.，
过作平面，垂足为，
连结。由和都是等边三角形知，所以，即点为正方形对角线的交点，
故，从而。
因为是的中点，是的中点，所以，因此。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，。
故平面。
又平面，所以，
取的中点，的中点，连结，
则，。
连结，由为等边三角形可得。
所以，为二面角的平面角。
连结，，则，
又，所以，
设，则，，
故。
在中，，，，
所以，
因此二面角的大小为。
本题主要考查立体几何中关于线线垂直的判定以及二面角的求解。
（Ⅰ）本题主要利用已知的线线之间的长度关系以及正三角形的性质，证明该结论。首先可以记中点为，正方形的中心为，进而证明，从而进一步有平面，又因为是中点，为中点，所以，因此 平面 ，所以。
（Ⅱ）本题可利用向量法。由题中所给出的特殊的线面关系，以为原点，并以分别为轴建立空间直角坐标系，进一步算出平面的法向量和平面的法向量，并根据得出该二面角的余弦值，进一步可以得出该角的大小。另外本题也可以采用几何法。即先做出二面角的平面角，并根据余弦定理得出该平角的余弦值，进一步得出该二面角的大小。
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