2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）：理数第20题<-->返回列表
（本小题满分13分）
某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有位学生，每次活动均需该系位学生参加（和都是固定的正整数）。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为。
（Ⅰ）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（Ⅱ）求使取得最大值的整数。
（Ⅰ）因为事件：“学生甲收到李老师所发信息”与事件：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以与相互独立，由于，故，因此学生甲收到活动通知信息的概率为。
（Ⅱ）当时，只能取，有，当时，整数满足，其中是和中的较小者，由于“李老师和张老师各自独立，随机地发活动通知信息给位同学”所包含的基本事件总数为，当时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数为，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数均为，由乘法计数原理知：事件所包含基本事件件数为，此时，
，当时，
，假如成立，则当能被整除时，，故在和处达到最大值；当不能被整除时，在处达到最大值，（注表示不超过的最大整数）。下面证明：
因为，所以，而，故，显然，因此。
本题考查了单调性的判别法：作差和作商，作差在含相同项较多时（如）适用，作商在含阶乘，组合数时适用，作商时注意正负号。
本题主要考查概率求解、概率与函数的结合以及求最值问题。
（Ⅰ）可先求出甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的事件的对立事件即收不到活动通知的概率；
（Ⅱ）首先考虑的取值，时，只能取。当时，整数满足，其中是和中的较小者，求出，是关于的一元函数，直接求其最大值有一定难度，可转化为求满足的解。
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