2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）：理数第21题<-->返回列表
（本题满分14分）
已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。
（Ⅰ）用和表示；
（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；
（Ⅲ）当时，比较与的大小，并说明理由。
（Ⅰ）由已知得：交点的坐标为，对求导，则抛物线在点处的切线方程为： ，即 ，则。
（Ⅱ）由（1）知，则成立的条件是，即知对于所有的成立，特别地，当时，得到。当，时，；当，，时，显然，故时，对所有自然数均成立，所以满足条件的的最小值为。
（Ⅲ）由（1）知，则，。下面证明：，首先证明时，，设函数，，则。当时；当时，，故在区间上的最小值。所以，当时，，即得。
由，知，，因此，从而
本题主要考查放缩法和构造函数法。
（Ⅰ）对抛物线方程求导，得切线斜率，又的坐标为，则可得切线方程为，截距。
（Ⅱ）由题，代入，得成立的条件是。当时，得到；当且时，对进行放缩，可得。当，均可直接代入知符合条件。所以满足条件的的最小值为。
（Ⅲ）首先证明时，，可构造函数，求导得极值。则。再求和，故可得。故得证。
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