2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：理数第19题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：理数第21题
（本小题满分12分）
如图，椭圆（，，为常数），动圆。点分别为的左、右顶点， 与相交于四点。
（1）求直线与直线交点的轨迹方程；
（2）设动圆与相交于四点，其中，。若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值。
（1）设，又知,，则
直线的方程为
由①②得
由点在椭圆上，故可得，从而有，代入③得
。
（2）证明：设，由矩形与矩形的面积相等，得，
所以，因为点均在椭圆上，所以，
由，知，所以。从而，因而为定值。
本题主要考查椭圆的方程与圆的方程。
（1）注意到可以是椭圆上第二象限内的任意一点，用不到其在圆上。设，则为，求出、的方程，观察其特点，直接相乘，再利用在椭圆上，即可得到的轨迹方程。也可先设出坐标，利用在、上列方程，寻找和的关系。
（2）设，，利用面积相等列式子，再利用，在椭圆上，求出的值。其实，先消掉，求出即可。
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