2012年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）：理数第21题<-->返回列表
（本小题满分14分）
若函数满足
（1），；
（2）对任意，有；
（3）在上单调递减。
则称为补函数。已知函数。
（1）判函数是否为补函数，并证明你的结论；
（2）若存在，使得，称是函数的中介元。记时的中介元为，且，若对任意的，都有，求的取值范围；
（3）当，时，函数的图像总在直线的上方，求的取值范围。
（1）函数是补函数，证明如下：
①，；
②对任意，有
③令，有
因为，，所以当时，，所以函数在上单调递减，故函数在上单调递减。
（2）当，由，得
（i）当时，中介元；
（ii）当且时，由得或；得中介元。
综合（i）（ii）：对任意的，中介元为
于是，当时，有。
当无限增大时，无限接近于，无限接近于，故对任意的，成立等价于，即。
（3）当时，，中介元为。
（i）当时，，中介元，
所以点不在直线的上方，不符合条件；
（ii）当时，依题意只需在时恒成立，
也即在时恒成立，
设，，
则，
由得，且当时，，当时，，
又因为，所以当时，恒成立．
综上：的取值范围是。
本题考查函数、数列基本概念等。
（1）逐个验证三个条件即可知是补函数。
（2）首先求出中介元的通项公式，继而求出，对的表达式进行放缩变换，从而可得满足的的取值范围。
（3）分，两种情况讨论，可将问题转化为证明在上恒成立。
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