2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）：文数第21题<-->返回列表
（本小题满分14分）
设函数，为正整数，为常数，曲线在处的切线方程为。
（1）求的值；
（2）求函数的最大值；
（3）证明：。
（1）因为，由点在上，可得,即。因为，所以。又因为切线的斜率为，所以，即。故，。
（2）由（1）知，，。令，解得，即在上有唯一零点。在上，，故单调递增；在上，，单调递减。故在上的最大值为。
（3）令，。
在上，，单调递减；在上，，单调递增。故在上的最小值为，所以，。
令，得，即，所以，即。
由（2）知，，故所证不等式成立。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（1）由切点坐标和切线方程可知：，求解，即可。
（2）由（1）可得：计算得到的零点，讨论在在其左右区间的正负可知：在处达最大值，求值即可。
（3）欲证，只需证，即，。故设，。证明即可。
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